小偷做梦想偷打什么数，数学题解析
在我们的数学课本中，有一道著名的小学数学思维题：“小偷做梦想偷打什么数？”这是一道让不少学生们头疼的数学问题，但实际上，只要用一些简单的数学知识和思维方法，就能轻松地解决这个问题。今天解梦号小编对这个问题进行详细解析，希望能帮助大家更好地了解这个问题，深入了解其中的数学思维。
一、大数学思路
1、高位数不动，低位数变，同余数规律启示
我们可以观察一下使用2到9之间的数字，可以得到以下规律：
当数字的个位为0、1、2、3、4时，该数显然不能是小偷想打的数。当数字的个位为5时，该数模5余0，且个位数为5；当数字的个位为6、7、8、9时，模5余1、2、3、4，个位数为6、7、8、9。
这些规律启示我们，转为数学思考，可以发现，在一个数码上，如果从最后一位往前推，末尾数字以某一个数字结尾的数，每隔五个就会一下次数码结尾为本身数码-4，每间隔8个数字出现一种数码的个位（0 到7），在这段数字中任意选取数字，都具有同余数0。也就是说，在1位数据变化的情况下，所选的数可能为同余数0、1、2、3和4的任何一种。
2、根据数位来归纳可操作性
在上述规律的启发下，我们还可以从大数学思路来考虑这个问题。因为题中没有明确规定该数字为多少位，所以我们从一位数开始归纳。假设有一个数，数字为a，那么它的加数有无数个，最小的为a0（这里的0是指个位是0），最大的为a9（这里的9是指个位是9）。
如果a是一位数，满足要求的数字只有5，即5本身。如果a是两位数，需满足该数字与加数的每一位数字对应之和等于11，这种数字一共有4个：14、23、32和41。
以此类推，如果a是n位数，要求和为11的数字的数量应该是：Cn2 × 4或者C(9 – n)1 × 4（这里的Cn2表示组合数）。根据组合数的计算公式，可以得出结果为：4 × n(n – 1)/2 或4 × (9 – n) × n。
3、通过分类介绍获得解
除了以上大数学思路，还可以通过分类介绍获得解。首先可以将数字按照个位数归类，可以发现5是仅有的模5余数为0的数，模5余数为1、2、3、4的数的个位数最低的分别是9、8、7、6。所以在求和时，小偷只需要想办法加出5，模5余数为1、2、3、4的数均可以由模5余数为0的数加上不同的倍数5得到。接下来我们就可以尝试分类介绍，得到以下结果：
①如果小偷想打的数本身是模5余数为0的数（以5为最低位，每隔5个变动），那么小偷可以任意选择一个个位数为5的数字，此时加数为2n × 5 + 5，其中n是一个非负整数，这个n可以为0。
②如果小偷想打的数本身是模5余数为1的数，那么可以利用上面的规律，加上一个个位数为9的数，此时加数为45 + 2n × 5 + 9。
③如果小偷想打的数本身是模5余数为2的数，那么可以加上一个个位数为8的数，此时加数为38 + 2n × 5 + 8。
④如果小偷想打的数本身是模5余数为3的数，那么可以加上一个个位数为7的数，此时加数为27 + 2n × 5 + 7。
⑤如果小偷想打的数本身是模5余数为4的数，那么可以加上一个个位数为6的数，此时加数为16 + 2n × 5 + 6。
二、基础数学知识
1、数字的数位分解
在以上的分析过程中，我们提到了数字的数位分解，也就是将一个数字拆分成各个位上的数字相加。这是一种基础的数学知识，在解决类似问题时十分有用。比如，在解决题目“一个三位数，各位数字之和为17，这个数是多少？”时，就可以运用数位分解的方法，将数字拆分为100a + 10b + c，其中a、b、c是各个位上的数字，然后化简出a + b + c = 17，得出结果为136。
2、数字的除法与乘法规律
另外，在以上的解题过程中，我们还用到了除法和乘法的基本规律。比如在求解Cn2时，需要将n个数中的2个数字（无序）组合起来，一般的解法是：Cn2 = n! / [(n – 2)! × 2!]。在这个公式的推导过程中，我们用到了除法的公式。
在之前的分析中，我们也提到了数字间的乘法关系，比如在n位数中求和为11的数字数量时，就需要计算Cn2 × 4或者C(9 – n)1 × 4，这里的Cn2表示组合数的计算方法。
三、高阶思维方法
1、贪心思想
在解决问题时，我们还可以尝试使用贪心思想，即一步步尽可能增加得到答案的数。以本题为例，从小数位开始枚举，每次尝试加5，从中选取余数为1、2、3、4的加数，直到求得答案为止。
2、递推关系
除此之外，我们还可以运用递推关系来解题。比如，在求解n位数中和为11的数字数量时，可以根据组合数的性质，得到递推公式：Cn2 = C(n-1)2 + 3n-2，其中C(n-1)2表示n-1个数中任选两个数字的组合数。这个递推公式的精髓在于，对于n位数而言，其任选两个数字的组合数，相当于由n-1位数中任选两个数字后，在它们之间插入一位数得到。而根据这些推导，我们就能够更轻松地求出n位数中和为11的数字数量。
3、化繁为简的思路
另外，还有一种思维方法是化繁为简。比如，在素数判定的问题中，一个合数可能有很多因子，但是只需要找到其中一个因子，就可以断定它是合数。这种化繁为简的思路，在解决问题时非常重要。
总结：
通过以上的分析，由此可知，解决这道数学问题，需要用到一些基础的数学知识和思维方法，比如数位分解、除法和乘法规律、递推关系、贪心思想和化繁为简的思路等等。虽然看起来挺头痛，但是只要理清思路，就能够轻松解决这道问题。
本文也希望大家能够重新认识数学，学会用数学的眼光去看待问题，更好地通过这些问题，进一步加深对数学知识的理解和掌握。